jueves, 3 de diciembre de 2009

miércoles, 2 de diciembre de 2009

factorizacion

solucion de problemas

ecuaciones liniales

TRABAJOS

El procedimiento consiste en escribir únicamente los coeficientes, en orden de potenica descendiente; ponemos 0 si no hay término.

2 −4 2 −1 1
2 −2 0
--- --- --- ----
2 −2 0 −1

El cocientes es q(x) = 2x2 - 2x y el residuo en −1

Los resultados de la parte a) y de la parte b ) muestran que cuando P ( x) se divide entre x – 1, el residuo es P ( 1 ).


2.7.3.3.  Teorema del Factor: Este Teorema nos explica cómo determinar un factor de un polinomio si el residuo de cierta división es cero.

Si P (x) = 0 si y sólo sí x – r es un factor de P( x )
Un cero de un polinomio en x, es todo valor de x que hace que el valor del polinomio sea igual a 0.

Ejemplo: Sea P (x) = x3 - 3x2 + 5x - 15

Demostremos que: a) P ( 3) = 0

Dividimos P(x) entre x −3 utilizando división sintética

1 −3 5 −15 3
3 0 15
--- --- --- ----
1 0 5 0

El residuo de esta división es 0.
De acuerdo con el Teorema del Residuo, éste es igual a P ( 3 )
Por lo tanto, P ( 3 ) = 0 y 3 es un cero del polinomio

b) x – 3 es un factor de P ( x ), el residuo es 0 y los números 1, y 5 de la división sintética en la parte a) representan los coeficientes del cociente, por lo que la factorización queda:

P (x) = x3 - 3x2 + 5x - 15 = (x - 3)(x2 + 5)

TRABAJOS

El procedimiento consiste en escribir únicamente los coeficientes, en orden de potenica descendiente; ponemos 0 si no hay término.

2 −4 2 −1 1
2 −2 0
--- --- --- ----
2 −2 0 −1

El cocientes es q(x) = 2x2 - 2x y el residuo en −1

Los resultados de la parte a) y de la parte b ) muestran que cuando P ( x) se divide entre x – 1, el residuo es P ( 1 ).


2.7.3.3.  Teorema del Factor: Este Teorema nos explica cómo determinar un factor de un polinomio si el residuo de cierta división es cero.

Si P (x) = 0 si y sólo sí x – r es un factor de P( x )
Un cero de un polinomio en x, es todo valor de x que hace que el valor del polinomio sea igual a 0.

Ejemplo: Sea P (x) = x3 - 3x2 + 5x - 15

Demostremos que: a) P ( 3) = 0

Dividimos P(x) entre x −3 utilizando división sintética

1 −3 5 −15 3
3 0 15
--- --- --- ----
1 0 5 0

El residuo de esta división es 0.
De acuerdo con el Teorema del Residuo, éste es igual a P ( 3 )
Por lo tanto, P ( 3 ) = 0 y 3 es un cero del polinomio

b) x – 3 es un factor de P ( x ), el residuo es 0 y los números 1, y 5 de la división sintética en la parte a) representan los coeficientes del cociente, por lo que la factorización queda:

P (x) = x3 - 3x2 + 5x - 15 = (x - 3)(x2 + 5)

GUIA DE EXAMEN

Ejemplo 4:

Factorizar 9a2 — l2ab3 + 4b6

9a2 — l2ab3 + 4b6
3a −2b3
3a −2b3

Vemos que colocando los factores de 3 y de −2 de esta forma los productos cruzados son −6 y −6 y como la suma es −12 que es el término de enmedio el resultado es

(3a - 2b3)(3a - 2b3)

(3a - 2b3)2

Ejercicios:

a) 25 — x2

e) — x2 — x - 6

f) 6x2 + x —2

Trinomio cuadrado perfecto

Otra manera de ver el ejemplo anterior es considerarla como un trinomio cuadrado perfecto, esto es; el resultado de elevar al cuadrado un binomio. El primer término seria 3a y el segundo 2b3 , y el término de en medio es el doble de su producto, por lo que tenemos:

(3a - 2ab3)2

9a2 —l2ab +4b2 = (3a — 2b)2

Agrupación

En muchas ocasiones no es posible factorizar una expresión dada por alguno do los métodos anteriores, sin embargo es posible agrupar los términos en dos partes, cada una de los cuales se puede factorizar por un método conocido; si después de separar y factorizar resultan términos con factor comón se puede aplicar el primer método, que viene siendo Ley del Mosquetero y la expresión inicial quedara factorizada.

Ejemplo 5 :

x3 — x2 +2x — 2

Factorizamos lo dos primeros términos y después los segundos

x2( x - 1) + 2(x — 1)

(x — 1)( x2 + 2)

Ejemplo 6 :

x3 +2x2 −3xy +y2 -y3

Agrupamos el primero y el ultimo término y después apliquemos el método

x3 -y3 +2x2 −3xy +y2

(x -y)(x2 +xy +y2 ) + (x —y)(2x —y)

(x —y)(x2 +xy+ y2 +2x -y)

Ejercicios:

a) ax -ay -bx +by

b) 20ac + 15bc +4ad + 3bd

c) 18a3 + 12a2 - 15a - 10

Productos notables

Como factorizar es basicamente lo contrarío de multiplicar, uno de los metódos más útiles en factorizaclón se obtiene al aplicar los [Productos Notables]], ya que son productos con los que el alumno está familiarizado.

Es importante señalar que si el alumno no domina los productos notables, este método en lugar de ser útil puede ser perjudicial, por lo que el alumno y el masetro deben de estar consientes de que sio no se tiene el tiempo suficiente para apreder y practicar los productos notables, es mejor no ver este método.

División Sintética o Regla de Ruffini:

Esta se utiliza cuando el divisor es de la forma * x – a* . Por medio de este procedimiento, se obtiene más fácilmente los Coeficientes en una división de polinomios. Aplicando

Se puede hallar el residuo, sin hallar la división: x2 – 7 x + 6 entre x – 5

Se sustituye la x por 5, y se obtiene: 52 – 7 (5) + 6 = 25 – 35 + 6 = – 4

+ 2 x + 7 entre x +3
Se sustituye la x por ( – 3), y se obtiene: - 3 3 + 2 ( −3 ) + 7 = −27 - 6 + 7 = −26
Aplicando la Regla de Ruffini para calcular los cocientes sin realizar la división:
Procedimiento: a. Se escribe todos los coeficientes del dividendo, y en la parte inferior izquierda,

sobre la horizontal se escribe 3 que aparece en el divisor, pero con signo
cambiado, para evitar la resta que se da en la división:
b. Los coeficientes del cociente se obtiene así:

El primero es igual al primer coeficiente del dividendo: 4 y se escribe debajo de
la línea
c. Los coeficientes se obtienen así:

El 12, es el producto de 3 x 4
El 24, es el producto de 3 x 8
El 78, es el producto de 3 x 26
El 234, es el producto de 3 x 78
2.7.3.2  Teorema del Residuo: Si un polinomio P ( x ) se divide entre x– r, el residuo es P ( r )

Ejemplo: P ( x ) = 2x3 - 4x2 + 2x −1

a ) P ( 1 ) = 2 (1)3 - 4 (1)2 + 2 (1)x −1 = −1

b ) Luego usamos la división sintética para determinar el cociente y el residuo cuando P ( x ) = 2x3 - 4x2 + 2x −1 se divide entre x – 1

FACTORIZACION DE DIFERENTES CUADRADOS

Binomios con Término Semejante (ax+b)(cx+d) = acx2 + (ad + bc)x + bd

Este método se basa en el hecho de que si aplicamos dos veces la ley distributiva, ver Ley del Mosquetero al siquiente producto: (ax+b)(cx+d) obtenemos como resultado ac x2 + (ad + bc) x + bd

Para una forma más eficiente de su uso veamos el mismo resultado de la siguiente forma:

ac x2 + (ad + bc) x + bd
a b
c d

Al acomodar los factores adecuados abajo de la expresión, si multiplicamos en cruz: a por c y b por b vemos que su suma es el coeficiente de x, por lo que esto nos dá una herramienta directa para factorizar expresiones de esta forma.

Ejemplo 2

Factorizar 6 x2 + 13 x + 6

6 x2 + 13 x + 6
3 2
2 3

Vemos que colocando los factores de esta forma los productos cruzados son 9 y 4 y como la suma es 13 que es el término de enmedio el resultado es

(3x + 2) (2x + 3)

Vemos que acomodamos los términos de otra forma no obtenemos el resultado, por ejemplo si escribimos:

6 x2 + 13 x + 6
3 3
2 2

El resultado de la suma de los productos cruzados es 6 + 6 = 12 que no es el coeficiente del segundo término, por lo que el éxito de este método es el de probar y encontrar los factores adecuados, con los signos y el orden correcto.

Ejemplo 3:

Factorizar 5 x2 - 7 x - 6

5 x2 - 7 x - 6
5 +3
1 −2

Vemos que colocando los factores de 5 y de −6 de esta forma los productos cruzados son −10 y 3 y como la suma es −7 que es el término de enmedio el resultado es

(5x + 3) (x - 2)

Ejemplo 4:

Factorizar 9a2 — l2ab3 + 4b6

9a2 — l2ab3 + 4b6
3a −2b3
3a −2b3

ECUACIONES LINIALES

Factor Común

Factorizar por factor común una expresión algebraica es representarla como un producto mediante el uso de una o varias veces de la propiedad distributuva de los números reales, que como ya sabemos es: xy + xz = x(y+z). Ver la Ley del Mosquetero

Ejemplo 1 . Factorizar

a) x2 — 9x = x(x—9)

b) 6x3y2 - 4x2y5 + 18xy6 = 2xy2 (3x2 — 2xy3 + 9y4)

c) 5x3 — lOx2 + 15x = 5x(x2 — 2x + 3)


Binomios con Término Semejante (ax+b)(cx+d) = acx2 + (ad + bc)x + bd

Este método se basa en el hecho de que si aplicamos dos veces la ley distributiva, ver Ley del Mosquetero al siquiente producto: (ax+b)(cx+d) obtenemos como resultado ac x2 + (ad + bc) x + bd

Para una forma más eficiente de su uso veamos el mismo resultado de la siguiente forma:

ac x2 + (ad + bc) x + bd
a b
c d
Transductiva (de particular a particular o de general a general)

Con el mismo caso del maestro que llega tarde drante los primeros días y concluímos que el lunes siguiente también llegará tarde. O del amigo que varias veces nos ha mentido y concluímos que lo que nos dice es ese momento es mentira.

El anterior sería de particular a particular, un caso de general a general es por ejemplo de un compañero maestro que la primera vez que impartió matemáticas discretas observó que todos los alumnos estudiaban, concluyó que para el siguiente semestre todos los alumnos iban a estudiar. Este es un caso donde como en el caso inductivo, no podemos estar seguros de que la conclusión es verdadera.

Abductiva(Propone una serie de posibles hipótesis sobre un hecho)

Es semejante a la deductiva, también utiliza la estrategia de analizar todas las posibilidades, pero en este caso hay varios casos que se pueden presentar, como por ejemplo si se sabe que siempre que llueve hay nubes y se sabe que hay nubes se puede concluir que llueve, pero no se tiene la certeza, al igual que el caso inductivo y transductivo no es una forma válida de obtener conclusiones en matemáticas o en lógica y es necesario conocer más información para poder verificar la validez. Con la abducción, así como con el proceso inductivo se pueden crear nuevas teorías y muchas veces se debe a la experiencia o conocimiento sobre el que se está haciendo la inferencia.
Transductiva (de particular a particular o de general a general)

Con el mismo caso del maestro que llega tarde drante los primeros días y concluímos que el lunes siguiente también llegará tarde. O del amigo que varias veces nos ha mentido y concluímos que lo que nos dice es ese momento es mentira.

El anterior sería de particular a particular, un caso de general a general es por ejemplo de un compañero maestro que la primera vez que impartió matemáticas discretas observó que todos los alumnos estudiaban, concluyó que para el siguiente semestre todos los alumnos iban a estudiar. Este es un caso donde como en el caso inductivo, no podemos estar seguros de que la conclusión es verdadera.

Abductiva(Propone una serie de posibles hipótesis sobre un hecho)

Es semejante a la deductiva, también utiliza la estrategia de analizar todas las posibilidades, pero en este caso hay varios casos que se pueden presentar, como por ejemplo si se sabe que siempre que llueve hay nubes y se sabe que hay nubes se puede concluir que llueve, pero no se tiene la certeza, al igual que el caso inductivo y transductivo no es una forma válida de obtener conclusiones en matemáticas o en lógica y es necesario conocer más información para poder verificar la validez. Con la abducción, así como con el proceso inductivo se pueden crear nuevas teorías y muchas veces se debe a la experiencia o conocimiento sobre el que se está haciendo la inferencia.

DEDUCTIVA

Deductiva (de lo general a lo particular)

Cuando se conoce una ley general y se aplica a un caso particular, por ejemplo se sabe que siempre que llueve hay nubes, concluimos que el día de hoy que está lloviendo hay nubes. También se conoce como inferencia deductiva cuando tenemos un caso que analiza todos los posibles resultados y de acuerdo a las premisas sólo hay una posible situación, en este caso decimos que la situación única es la conclusión. Es este caso estamos seguros de que si las premisas son verdaderas entonces la conclusión también lo es.

En este caso entran MPP y MTT y se pueden hacer una tabla con todos los posibles casos, llamada tabla de verdad, donde se ven las dos formas válidas de establecer una inferencia válida. La inferencia deductiva es la única aceptada como válida en lógica y matemáticas para hacer comprobaciones y sacar conclusiones, por tal razón se le dedica una sección completa en estas notas, ver Deducción.

DEDUCTIVA

Deductiva (de lo general a lo particular)

Cuando se conoce una ley general y se aplica a un caso particular, por ejemplo se sabe que siempre que llueve hay nubes, concluimos que el día de hoy que está lloviendo hay nubes. También se conoce como inferencia deductiva cuando tenemos un caso que analiza todos los posibles resultados y de acuerdo a las premisas sólo hay una posible situación, en este caso decimos que la situación única es la conclusión. Es este caso estamos seguros de que si las premisas son verdaderas entonces la conclusión también lo es.

En este caso entran MPP y MTT y se pueden hacer una tabla con todos los posibles casos, llamada tabla de verdad, donde se ven las dos formas válidas de establecer una inferencia válida. La inferencia deductiva es la única aceptada como válida en lógica y matemáticas para hacer comprobaciones y sacar conclusiones, por tal razón se le dedica una sección completa en estas notas, ver Deducción.

INFERENCIA

Inductiva (de lo particular a lo general)

Este es el caso en el que debido a varias observaciones se formula una regla general o incluso una teoría. Aquí por ejemplo si durante la primera semana el maestro llega 10 minutos tarde, podemos concluir que todo el semestre va a llegar tarde. Esta conclusión no necesariamente es válida porque puede ser que el maestro algún día llegue temprano. En general una inferencia inductiva es la que se desprende de una o varias observaciones y en general no podemos estar seguros de que será verdadero lo que concluimos.

En este caso podemos mencionar el ejemplo el mentiroso: Un joven le dice a un amigo, tu todos los días dices mentiras; y el contesta, no es cierto, ayer en todo el día no dije una sola mentira. Resumiendo, la inferencia inductiva es la ley general que se obtiene de la observación de uno o más casos y no se puede asegurar con certeza de que sea cierta, pero la verificación de más casos particulares y el conocimiento del tema hacen que la teoría propuesta sea más creíble.

La inducción es un caso muy importante de razonamiento ya que permite crear hipótesis y es como los investigadores generan las nuevas teorías. Ejemplo Inferencia Inductiva .

INFERENCIA

Inductiva (de lo particular a lo general)

Este es el caso en el que debido a varias observaciones se formula una regla general o incluso una teoría. Aquí por ejemplo si durante la primera semana el maestro llega 10 minutos tarde, podemos concluir que todo el semestre va a llegar tarde. Esta conclusión no necesariamente es válida porque puede ser que el maestro algún día llegue temprano. En general una inferencia inductiva es la que se desprende de una o varias observaciones y en general no podemos estar seguros de que será verdadero lo que concluimos.

En este caso podemos mencionar el ejemplo el mentiroso: Un joven le dice a un amigo, tu todos los días dices mentiras; y el contesta, no es cierto, ayer en todo el día no dije una sola mentira. Resumiendo, la inferencia inductiva es la ley general que se obtiene de la observación de uno o más casos y no se puede asegurar con certeza de que sea cierta, pero la verificación de más casos particulares y el conocimiento del tema hacen que la teoría propuesta sea más creíble.

La inducción es un caso muy importante de razonamiento ya que permite crear hipótesis y es como los investigadores generan las nuevas teorías. Ejemplo Inferencia Inductiva .

PROBLEMAS CON LOGICA

Sudoku es un juego de razonamiento y lógica. Consiste en una cuadrícula de 9 X 9. A su vez dividida en 9 cuadros de 3 X 3. El objetivo del juego es poner los números del 1 al 9 en cada renglón, en cada columna y en cada cuadro 3 X 3.

Para indicar el procedimiento en una solución numeramos los cuadros 3 X 3 del 1 al 9 empezando por la parte superior izquierda. Escribiremos a/b para indicar que el número a se escribió en el cuadro número b. También llevaremos un registro de los números que ya se han escrito totalmente con la notación: Números [a, b, … ].

Ejemplo

Attach:Sudoku.jpg Δ

Vemos que es posible colocar algunos 4’s, así que empezamos por: 4/4: Esto significa que ponemos el 4 en el cuadro 4, es posible porque en los cuadros 1 y 7 hay dos cuatros por lo que en cuadro 4, la única columna que puede tener un cuatro es la primera, como dos lugares ya están ocupados el cuatro va en el primer lugar, ver anexo Sudoku, Pag. 2.

4/3: Esto significa poner un cuatro en el tercer cuadro.

4/9 y 4/8: Poner cuatros en los cuadros 9 y 8. Con esto terminamos todos los cuatros, pues ya son nueve. (Ver Pag. 3)

Tenemos terminado el número 4, escribimos: Números [4]

9/9, 9/7, 9/1, 9/2, 9/5. Con esto se terminan los nueves. (Ver pag. 4)

Números [4, 9]

1/3, 1/1, 1/4, 1/5: Con esto se termina el número 1, Números [4, 9, 1]

3/1, 8/6, 8/4, 8/1, 8/7, 8/2. Se completa el número 8, Números [4, 9, 1, 8], (ver pag. 5)

7/1, 7/3, 7/4, 7/5, 7/8, 7/9. Se completa el número 7, Números [4, 9, 1, 8, 7]

2/7, 2/2, 2/3, 2/6, 2/5. Se completa el número 2, Números [4, 9, 1, 8, 7, 2]

6/2, 6/3, 6/4, 6/6, 6/5, 6/8. Se completa el número 6, Números [4, 9, 1, 8,7, 2, 6], (ver pag. 6)

3/5, 3/6, 3/8, 3/9, 3/7. Se completa el número 3, Números [4, 9, 1, 8, 7, 2, 6, 3]

PROBLEMAS CON LOGICA

Sudoku es un juego de razonamiento y lógica. Consiste en una cuadrícula de 9 X 9. A su vez dividida en 9 cuadros de 3 X 3. El objetivo del juego es poner los números del 1 al 9 en cada renglón, en cada columna y en cada cuadro 3 X 3.

Para indicar el procedimiento en una solución numeramos los cuadros 3 X 3 del 1 al 9 empezando por la parte superior izquierda. Escribiremos a/b para indicar que el número a se escribió en el cuadro número b. También llevaremos un registro de los números que ya se han escrito totalmente con la notación: Números [a, b, … ].

Ejemplo

Attach:Sudoku.jpg Δ

Vemos que es posible colocar algunos 4’s, así que empezamos por: 4/4: Esto significa que ponemos el 4 en el cuadro 4, es posible porque en los cuadros 1 y 7 hay dos cuatros por lo que en cuadro 4, la única columna que puede tener un cuatro es la primera, como dos lugares ya están ocupados el cuatro va en el primer lugar, ver anexo Sudoku, Pag. 2.

4/3: Esto significa poner un cuatro en el tercer cuadro.

4/9 y 4/8: Poner cuatros en los cuadros 9 y 8. Con esto terminamos todos los cuatros, pues ya son nueve. (Ver Pag. 3)

Tenemos terminado el número 4, escribimos: Números [4]

9/9, 9/7, 9/1, 9/2, 9/5. Con esto se terminan los nueves. (Ver pag. 4)

Números [4, 9]

1/3, 1/1, 1/4, 1/5: Con esto se termina el número 1, Números [4, 9, 1]

3/1, 8/6, 8/4, 8/1, 8/7, 8/2. Se completa el número 8, Números [4, 9, 1, 8], (ver pag. 5)

7/1, 7/3, 7/4, 7/5, 7/8, 7/9. Se completa el número 7, Números [4, 9, 1, 8, 7]

2/7, 2/2, 2/3, 2/6, 2/5. Se completa el número 2, Números [4, 9, 1, 8, 7, 2]

6/2, 6/3, 6/4, 6/6, 6/5, 6/8. Se completa el número 6, Números [4, 9, 1, 8,7, 2, 6], (ver pag. 6)

3/5, 3/6, 3/8, 3/9, 3/7. Se completa el número 3, Números [4, 9, 1, 8, 7, 2, 6, 3]
Una proposición lógica es una expresión que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. Si una expresión que contiene variable(s) y al sustituir las variables obtenemos una proposición lógica, se llama proposición abierta.

Ejemplos:

p: La tierra es redonda.

q: −17 + 38 = 15

r: x > y+5

s: El Atlas será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.

t: Hola ¿como estas?

w: Lava el coche por favor.

Las expresiones p y q son proposiciones lógicas, mientras que las proposiciones r y s son proposiciones abiertas, las expresiones t y w no son proposiciones el primero es un saludo y el segundo una orden, se llaman expresiones indeterminadas o frases.

Es muy importante en el área de matemáticas conocer los deferentes tipos de inferencia y sobretodo saber los modelos para hacer una demostración formal, ver los temas 3.3 Inferencia y 3.4 Deducción. Pero también es importante que el alumno se acostumbre a ejercitar el razonamiento y el uso de la lógica por lo que se presentan algunos casos que pueden ser de mucha utilidad.

martes, 1 de diciembre de 2009